אבן נייר ומספריים המנצח מבין השתיים!
מי מאיתנו לא מכיר את המשחק המיתולוגי 'אבן נייר ומספריים'? משחק ילדים תמים זה מחביא באמתחתו עיקרון מתמטי חשוב ביותר שיש לו משמעות על הרבה נושאים במערך חיינו, אחד מהם למשל הוא ה'בחירות לכנסת' ('פרדוקס הבחירות' מיוחס למארי-ז'אן-אנטואן-ניקולא דה קאריטא פילוסוף צרפתי מהמאה-18), במאמר זה אבחן את הבעיה הלוגית שישנה במשחק, ונראה איך בעיה לוגית זו מופיעה גם כן במלוא הדרה בתלמוד הבבלי.
הבעיה והפתרון
יחס טרנזיטיבי- הוא בעצם יחס המקיים את כלל המעבר (רפלקסיביות), דהיינו אם a מתייחס ל-b ו-b מתייחס ל-c אז ודאי ש-a מתייחס ל-c! ואפשר לקיים מעבר זה בכמה וריאציות שונות, דהיינו היחס נבנה ע"י נוסחאות שונות של כמויות כגון 'מרוויח יותר מ...'- אם מנהל הבנק-a מרוויח יותר מפקיד-b ופקיד-b מרוויח יותר מפקיד-c אז וודאי שמנהל-a מרוויח יותר מפקיד-c וכן על זה הדרך אפשר ליישם כלל זה בכמה אספקטים כמותיים- מהיר יותר מ..., נמוך יותר מ... וכן על זו הדרך..
אבן נייר ומספריים
במשחק אבן נייר ומספריים קורה משהו מעניין, כפי שהסברנו יחס טרנזיטיבי מקיים רפלקסיביות, דהיינו יחוס מ-a ל-c, משא"כ במשחק אבן נייר.. שהרי 'אבן' גובר על 'מספריים' ו'מספריים' גוברות על 'נייר' ולכן היה צריך להיות ש'אבן' גובר על 'נייר', אבל אנו יודעים ש'נייר' עוטף את ה'אבן' וכך הוא גובר עליו, מה שיוצר סיבובים מעגליים שאין להם סוף, ולכן היחס 'מנצח את...' לכאורה הוא אינו טרנזיטיבי.(בהמשך נפתור את הפרדוקס)
חשיבה אי טרנזיטיבית בחז"ל
עכשיו אציג את אותה דילמה גם בתלמוד הבבלי (משנה כתובות דף צה.), הביא את לשון המשנה ולאחר מכן אבאר את הדילמה:
מי שהיה נשוי ב' נשים ומכר את שדהו וכתבה ראשונה ללוקח דין ודברים אין לי עמך השניה מוציאה מהלוקח וראשונה מן השניה והלוקח מן הראשונה וחוזרות חלילה עד שיעשו פשרה ביניהם וכן בעל חוב וכן אשה בעלת חוב:
במשנה זו אנו בעצם חווים את אותו פרדוקס שחווינו (להבדיל) במשחק 'אבן נייר ומספריים', מכיוון שאשה א' כתבה שאין לה דין ודברים אם הקונה היא לא יכולה לגבות את השדה המשועבדת לכתובתה, משא"כ אשה ב' שיכולה לגבות את השדה מהקונה, ולכן דבר זה יוצר פרדוקס וסיבובים מעגליים שלא נגמרים דהיינו- 'אי טרנזיטיביות'!, שכן אשה ב' גובה את השדה מהקונה ואשה א' גובה את השדה מאשה ב' (שהרי התנאי שלה חל רק על הקונה) א"כ אשה א' יפה כוחה מאשה ב' ואשה ב' יפה כוחה מהקונה הדין נותן שהקונה לא יוכל לגבות את השדה מאשה א' אבל אין הדבר כן שהרי "והלוקח מן הראשונה..."
מוחמד עלי נגד...
ניתן עוד דוגמה אחת שתיתן לנו פרספקטיבה חדשה על טרנזיטיביות:
ב-1970 ניצח המתאגרף גורג' פרייזר את
מוחמד עלי ה"בלתי מנוצח; בקרב שנחשב עד היום "קרב האיגרוף
של המאה;". מאוחר יותר אותו פרייזר עצמו נוצח
ע"י ג'ורג' פורמן, מתאגרף ענק ממדים שהפך ל"בלתי
מנוצח" הבא בתור. ב 1974 נערך בזאיר קרב בין מוחמד עלי
לאותו ג'ורג' פורמן! נראה היה,שלעלי בגילו
ה"מופלג;"- 32, שכבר נוצח כאמור ע"י פרייזר, לא היו הרבה סיכויים נגד פורמן ה
"בלתי מנוצח;". למרות זאת(למי שלא יודע), עלי ניצח את
פורמן בסיבוב השמיני והחזיר לעצמו את כתר האליפות."עלי הוכיח : איגרוף אינו
טרנזיטיבי;"
פתרון מתבקש
בהשקפה ראשונה כל הדוגמאות המוצגות כאן יוצרות בעיה פרדוקסלית. אבל לדעתי- אין הדבר כן, ואסביר את הדברים: ישנו הבדל גדול
בין 'חזק ביותר' לבין 'עליונות בתחום מסוים'. דהיינו- אבן עליונה על מספריים בתחום
השבירה, שהרי למספריים אין כ"כ מה לעשות מול האבן 'השוברת'. ולמספריים יש
עליונות על דף בזה שהיא גוזרת אותו ולנייר יש עליונות על אבן שכן הוא עוטף אותה. א"כ, אין כאן שטח של כמויות או חוזק (שמאפיין טרנזיטיביות) אלא של הגבלה מול...
וכן על זו הדרך בתלמוד. אנו לא מדברים על כוחות אלא על עליונות, דהיינו אשה א' בחרה
להגביל עצמה מול הקונה אבל אין זה אומר שהקונה יותר חזק ממנה... שהרי אשה זו יפה כוחה
מול אשה ב', שהרי היא לא הגבילה את עצמה מולה. ולכן יש הבדל בין ה'מחייב' לבין ה'מוגבל',
שמחייב- יש לו כוח במהותו לנצח את זה שממולו דהיינו במשקל, במהירות, וכו', משא"כ
במוגבל- שלעניין פלוני הוא מוגבל אבל אין זה ממהותו אלא בדבר שמעבר לו (ודו"ק).
אז לכל אוהבי הלוגיקה בפעם הבאה שאתם משחקים אבן נייר ומספריים אל
תשכחו מי שלח אתכם!!!
נפלא!
השבמחקיש להוסיף שעצם הרעיון של מעגליות הוא התנגשות של כמה כללים, או יותר נכון כמה הגבלות, או מקרה של כלל שאינו מוגדר עד הסוף, ופעמים שאף נוצרת בעייה למעשה.
כגון הכלל של זכות קדימה לרכב הבא מימין בצומת, מה יהיה כאשר הגיעו ארבע רכבים, כל אחד יתן זכות קדימה לזה שבימינו, וימינו לימינו ללא סוף, הבעייה היא שהכלל אינו מגדיר מה לעשות במקרה הזה, ולכן הוא כלל חסר.
וכמו כן העניין של גלגל החוזר של ר"ש שקופ, מדובר בכמה כללים שיחד יוצרים התנגשות, היות וחסר בהגדרה הפירוט מה לעשות במקרה של התנגשות.
במקרים אלו אם מדובר בהגבלה חוקית מעשה ידי אדם, יש לתקן זאת בצורת חקיקה, אך אם מדובר בעניין רעיוני, פילוסופי, או הלכתי, יש למצוא את ההגדרה שתכיל את המקרה המדובר.
עוד יש להעיר על החילוק בין חוזק, לבין עליונות מסוג מסויים, שישנם פרדוקסים מעגליים גם בחוזק ולאו דוקא בעליונות מסוג מסויים, והדוגמא של המתאגרף תוכיח, ואכמ"ל.